绪论

技术科学中最有用的数学领域是 数值分析 和 数学建模

数值分析：

研究科学计算中各种数学问题求解的数值计算方法

使用科学计算解决实际问题的过程：

实际问题——数学模型——数值计算方法——程序设计——计算机求解

好算法特点：结构简单、方法收敛和数值稳定性、计算效率高、经由数值实验检验

误差的来源和分类：

1. 模型误差：实际问题抽象的模型带有误差
2. 观测误差：模型中的物理参数由观测和实验而来，带有误差
3. 截断误差（方法误差）：求解数学模型所用近似数值方法所产生的误差
4. 舍入误差：计算机运算时仅对有限位数进行运算，舍去部分产生的误差

－ 绝对误差：精确值与近似值的误差，之间的范围则为 绝对误差限（误差限）

绝对误差有时不能反映近似程度的好坏，如数量级不同的几个数

四舍五入得到的近似值的相对误差限为近似值末位的半个单位

－相对误差：绝对误差与相对误差的比值

－有效数字：左起第一个非零数字到某数位共n位 则其有效数字为n 其绝对误差限为该数位的半个单位

$x = \pm 0.a_1a_2 \cdot\cdot\cdot a_k \times10^m$

$|x^* - x| \leqslant \frac1 2 \times10^{m-n}$

数总可以写成上图的形式，m为数据位数（小数点前有几位数字）、n为有效数字

近似值有效数字越多，绝对误差越小；精确值的有效数字可以认为有无穷多位

数值计算中的若干原则：

1. 避免两个相近的数相减：改变算法 换成ln也好
2. 防止大数吃小数；求和或求差时应该采用由小到大的过程
3. 绝对值太小的数不宜作为除数
4. 简化计算程序、减少计算次数，计算量越大累计的误差越大
5. 选用数值温度的算法