数值分析02解线性方程组的直接方法

数学知识：

Cramer法则：求解n个n元线性方程组

Gauss消去法

• 顺序
• 列主元

把线性方程组系数转化为上三角矩阵

消元+回代

列主元Gauss消去法：消元前，选取主元素消元

完全主元Gauss消去法：按照自然顺序进行消元：大数吃小数现象-舍入误差较大

三角分解法

• LU
• 平方根
• 追赶法

矩阵A可直接分解为一个单位下三角矩阵和一个单位上三角矩阵

列主元直接三角分解法：分行、分列，先U再L

平方根法

矩阵通过乔列斯基分解为一个下三角矩阵G和其转置矩阵$G^T$

追赶法

求解三对角方程组，将A分解为一个下三角矩阵和一个单位上三角矩阵乘积

向量和矩阵的范数

• 1、2、♾
• 行、谱、列

对向量和矩阵的大小进行某种度量

向量

1：绝对值和

2：平方的和开根号

∞：绝对值最大

矩阵

每列绝对值相加，取max

A转置和A相乘最大特征值开根号

每行绝对值相加，取max行

谱半径

线性方程组固有性态与误差分析

病态方程组：原始数据微小变化导致解严重失真的方程组

病态矩阵：病态方程组相应的系数矩阵称为病态矩阵

A的条件数Cond（A）=||A|| ||$A^{-1}$||

预条件方法

迭代改善