数值分析05函数插值与逼近

通过已知数据得到函数的近似解表达式

多项式插值问题

被插值函数、插值函数、插值节点、插值条件

系数是Vandermonde行列式

Lagrange插值与多项式

lagrange插值节点基函数

$L_1(x)=\frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)}y_0+\frac{(x-x_0)}{x_1-x_0)}y_1$ 上面是减去两边，下面是减去自己的

余项：

$R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)(\xi_x)}}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$

Newton插值多项式

差商：$f[x_i,x_j]=\frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j}$ —一阶差商

差商表

插值多项式：$N_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1]\omega_1(x)+f[x_0,x_1,x_2]\omega_2(x)+...+f[x_1,x_2,...,x_n]\omega_{n}(x)$ …

插值余项：$R_n(x)=f[x_1,x_2,x_3,x_4,...,x_n]\omega_{n+1}(x)$

hermite插值多项式

为了在部分节点或全部节点有相同的导数值，带有导数插值条件的插值多项式

承袭法

基函数法

分段插值多项式

Runge(龙格)现象

提高插值多项式的插值精度

三次样条插值

对曲线的光滑性有一定的要求

三次样条函数

三转角方法

三弯矩方法

数据拟合的最小二乘法

多项式拟合曲线：$\phi=span{\{1,x,x^2,...,x^n\}}$

数据拟合的最小二乘法

向量内积

正则方程组